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数形结合法，是我们初中阶段学习中的一种重要方法．就是要求结合直观的图形去解决抽象的问题，结合日常生活中的现象去学习书本中的知识，这样能帮助我们分析问题、解决问题，使较难的问题简单化．利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。它是学习有理数的一条主线，它与相反数、绝对值等有密切的联系。结合数轴表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及有理数大小的比较等，更有直观性。下面仅结合有理数的有关概念，谈谈它的“主线”作用。

一、从数轴上看有理数

通过具有原点、正方向和单位长度的直线建立数轴，从而使所有有理数在数轴上都能找到它们的对应点，这样把有理数的一些问题直观形象化，达到快速、有效解决问题的目的．

例如：有理数的分类，原点右侧的点表示有理数为正有理数，左侧的点表示的有理数为负有理数，通过数轴可直观反映出正、负有理数所在的范围．

原点右边的点表示的数比0大，所以正数通常表示为a＞0，类似的有负数表示为a＜0,非负数表示为a≥0，非正数表示为a≤0．

再如，一些特殊的有理数可由数轴直接观察到．最小的正整数为1，最大的负整数为-1，没有最大或最小的有理数，最小的自然数为0等．如：大于-3且小于2的整数有：-2、-1、0、1．

例1．如图所示，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题：

（1）若将B点向左移动3个单位后，A、B、C三个点所表示的数谁最小？是多少？

（2）若将A点向右移动4个单位后，A、B、C三个点所表示的数谁最小？是多少？

（3）怎样移动A、B、C中的两个点才能使三个点所表示的数相同？有几种移动方法？移动后三个点所表示的相同数是多少？

（1）先根据题意得出A、B、C三点所表示的数，再得出将点B沿数轴向左移动3个单位长度后表示的数，再比较出各数的大小即可；

（2）求出将点A沿数轴向右移动4个单位长度所表示的数，比较出各数的大小即可；

（3）移动三个数中的两点，使3个数重合即可．

：由图可知，点A表示﹣4，点B表示﹣2，点C表示3，

（1）将点B沿数轴向左移动3个单位长度后表示﹣5，此时B表示的数最小，是﹣5；

（2）将点A沿数轴向右移动4个单位长度后表示0，此时点B表示的数最小，是﹣2；

（3）共有3种移动法．

①点A不动，把点B沿数轴向左移动2个单位长度，点C沿数轴向左移动7个单位长度，此时三个点都表示﹣4；

②点B不动，把点A沿数轴向右移动2个单位长度，点C沿数轴向左移动5个单位长度，此时三个点都表示﹣2；

③点C不动，把点A沿数轴向右移动7个单位长度，点B沿数轴向右移动5个单位长度，此时三个点都表示3。

二、从数轴上看相反数

引入数轴后，使抽象的数变成了具体的点，为我们的研究和应用带来了极大的方便。

只有符号不同的两个数互为相反数，如果利用数轴认识相反数，则更加形象直观。

换句话说，在数轴上原点的两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数，由此在数轴上可直接观察到-3的相反数为3；a的相反数为-a，相反数为本身的数只有0。

在数轴上，表示一对相反数的两个点同时具备两个条件：

（1）到原点的距离相等；

（2）分别位于原点的左右两侧.因为数a的相反数是－a，所以一个数加了负号之后，表示这个数的点在数轴上的位置，就越过原点“叛变”到与原来相对的位置上了（严格的说，就是到了这个点关于原点的对称点的位置）；如果再加一个负号，那么它又“叛变”回来，到了原来的位置上，即－(－a)=a，这说明一个数的相反数的相反数就是它本身。

依据相反数的这一几何特征，更能识别和掌握相反数。

例2．有理数a，b在数轴上的位置如图所示．

（1）在数轴上分别用A、B两点表示﹣a，﹣b．

（2）若数b与﹣b表示的点相距20个单位长度，则b与﹣b表示的数分别是什么？

（3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与﹣a表示的数是多少？

（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b；

（2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b与﹣b表示的数；

（3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a与﹣a表示的数．

：（1）如图：

（2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为20÷2＝10，

所以b表示的数是﹣10，﹣b表示的数是10；

（3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10，

而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，

所以a表示的点到原点的距离为10﹣5＝5，

所以a表示的数是5，﹣a表示的数是﹣5。

三、从数轴上看绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

一个数a的绝对值记作“

a

”，︱a︱就是数轴上表示数a的点到原点的距离。如-3的绝对值记作“

-3

”（如图2所示），

即数轴上，表示-3的点与原点的距离是3，所以

-3

=3.表示0的点与原点的距离是0，所以

0

=0。

所以得到绝对值的代数性质：正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值为它的相反数．总结得到：

可知：任何一个数的绝对值总是非负数，即︱a︱≥0．绝对值为本身的数为非负数；绝对值最小的数是0．从数轴上观察可知，绝对值为一个正数的有两个，如︱a︱=2，则a=±2．

一个数a的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点离开原点的距离，从这种解释中提出中心词“绝对值是距离”，距离至少为0，一般是正数，即距离是“非负数”。

既然如此，绝对值就一定是非负数了，即

a

≥0.在数轴的负半轴上，表示负数的两个点离原点越远，就“越靠左”，则这个数越小；这正好印证了：两个负数，绝对值大的反而小。

另外，由绝对值与相反数在数轴上的意义，不难看出二者之间的密切联系：若a≤0,则

a

=－a；若a=－b,则

a

=

b

；若

a

=b，则a=±b；等等.

拓展一下，︱a-b︱就是数轴上表示数a和b的两点间的距离，如︱6-2︱就是数轴上表示数6和2的两点间的距离，即︱6-2︱=4。依据这样的绝对值的几何意义，更易理解和解决与绝对值有关的问题。

例3.求绝对值小于5的非负整数？

分析：从数轴上看，绝对值等于5的数有±5，绝对值小于5就是到原点的距离小于5，这样的整数有-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4，而非负整数有0，1，2，3，4。

解：绝对值小于5的非负整数是0，1，2，3，4。

说明：理解绝对值的几何意义要注意，求绝对值符合某些条件的数时，不要漏掉0或负数。

四、从数轴上看有理数的大小比较

数轴上的点所表示的数，原点右边的都是正数，原点左边的都是负数；数轴上两个点所表示的数，右边的总比左边的大．由此可得到下面的结论：

1．正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数．

2．对于三个有理数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c．

3．没有最大的有理数，也没有最小的有理数．

4．最大的负整数是—1，最小的正整数是1．

5．没有绝对值最大的数，绝对值最小的数是0．

例4．已知a，b，c的关系是a＜0，b＞0，c＜0且

c

＞

b

＞

a

，请比较a，b，c，﹣a，﹣b，﹣c的大小．

根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案．

：由a＜0，b＞0，c＜0且

c

＞

b

＞

a

，得

由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得

c＜﹣b＜a＜﹣a＜b＜﹣c．

本题考查了有理数的大小比较，画出数轴是解题关键，利用数轴比较有理数的大小：数轴上的点表示的数右边的总比左边的大。

五、从数轴上看有理数的化简求值

数轴用处很大，以后要经常用到。例如，用于有理数大小比较和化简计算。

例5．一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图：

（1）站在点 　　上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点 　　和点　　、 　　

和 　　　上的机器人表示的数到原点距离相等；

（2）怎样将点A3移动，使它先到达A2点，再到达A5点，请用文字语言说明．

（3）若原点是零件供应点，那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？

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