求异思维是发散思维，它是从多方位、多角度，各个侧面寻找答案的思维过程，求异思维实质上是一种创新思维。求异思维能力较强的人在解决问题时，能有较多机会得到正确答案，容易在某一发散点上形成新的突破，从而获得有价值的新成果。因而教师在教学中应有目的地，有计划地进行求异思维的训练，多方面开阔学生的思路，拓宽思维领域。

１、发展多向思维。

多向思维是发散思维的典型形式。它是从尽可能多的方面来考查同一问题，使思维不局限于一种模式或一个方面，从而获得多种解答的思维方式，训练多向思维可以从以下几个途径去实现。

（1）一题多解的训练

例、求函数的值域。

思路1：利用万能公式结合判别式法求解。

思路2：利用万能公式结合重要不等式求解。

思路3：转化为一个角的一种三角函数，利用三角函数有界性求解。

思路4：，表示平面内点（cosx,sinx）与点（2，0）连线的斜率取值范围。借助图象求解，如图所示。

通过一题多解的训练，使学生对同一数学问题从不同的角度去观察、去思考、去分析，寻找不同的解决问题方法。

（2）一题多变，一法多用的训练

一题多变就是教师将同一问题变换条件，变换提问方式，交换因果关系等，进行一系列由此及彼，由浅入深，由正及反，由表及里的操作，使每道题生成一系列新问题，让学生思考。根据思维效益定律1**1。即对同一个问题从不同角度深入思考次的效果，比对个问题每一个只思考一次的效果要好得多。

例如：在复习对称问题时，我出了４个变式练习。

１某公路同旁有两个村庄Ｍ、Ｎ，想在公路上建一个车站Ｐ，使车站到两个村庄的距离之和最小，如何设置车站Ｐ的位置。

２在Ｘ轴上求一点Ｐ，使Ｐ到Ａ(1,2)，Ｂ(3,6)距离之和最小并求最小值。

3求函数的最小值。

4点P在直线y=x上，椭圆C以F1(1,0)，F2(2,0)为焦点且过点P，当椭圆的长轴长最小时，求椭圆的方程。

通过一题多变使学生广泛联想和类比，从而培养学生思维的灵活性，变通性和敏捷性，形成创新思维。同时还可以指导学生“一法多用”，同一种方法适合于不同类型的题目，提高学生的化归能力，做到举一反三，触类旁通。

（3）开放题的训练

在教学中要引入开放题，这也是培养学生多向思维的有效途径。数学开放题是指条件不确定，解题方法多样化的题目。数学开放题的教学，有利于学生之间的交流和合作，有利于培养学生的创新精神、开拓精神，也有利于不同层次的学生都能在解决问题中得到发展，都有自己的收获。因此在数学教学中要重视开放题的教学，并结合实际设计一些开放题，让学生去思考、去创新、去探索，培养学生思维的广阔性，独创性。

譬如，四面体ＡＢＣＤ中，棱长为１和２，且该四面体不是正四面体，则其体积是-----------。（只须写出一个可能值，不必考虑所有情况）

通过开放题的练习，要求学生从不同角度分析比较，鼓励众说纷纭，各抒己见。鼓励有不同知识基础和智力水平的所有学生尤其是差生参与进来，通过自己的观察和思考，提出自己的解题思路，培养自信心，发挥学生参与的主体性，全体性，使各种层次的学生在各自能力范围内有自己独特的见解和创造。近几年高考引入了开放题，也旨在考查学生的多向思维，创新思维。

２、培养逆向思维，使学生养成双向思维的良好习惯。

逆向思维是求异思维的一种形式，它是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题，表现为逆用定理、定义、公式、法则。逆向推理、逆向证明，从反方向形成新结论。教师在教学时要打破时空顺序，培养学生的创新思维。教师不仅要重视解题思路的逆向分析，而且在概念教学中，根据教学内容，适时进行逆向应用定理，定义的训练及公式的双向应用。例如，三角函数中的和差互化，不等式证明中的分析法，反证法等等。逆向思维的训练，可使学生不受思维习惯的约束，摆脱思维定势，突破原有思维框架，提高学生从反向考虑问题的自觉性，产生新思想，新思维。对于某些数学问题，如果从正向思考难以突破，就要引导学生逆向思考，探求结论与已知的联系。

例、求值。

逆用两角和的正切公式的变形公式tgα+tgβ=tg(α+β)(1—tgαtgβ)，显得尤为简单。

３、启迪直觉思维，培养学生探索和创新能力。

直觉思维是靠感性经验和已有的知识对所研究的对象做出直接判断和领悟的思维方式。许多数学中的新发现、新创造都是通过直觉思维得出猜想、假设，再用逻辑思维加以证明的，因而直觉思维具有创新功能。教师在教学中要有意识地刺激学生的直觉欲望，引起学生的直觉想象，并引导学生善于抓住数学问题的本质，内在联系，依据某些线索做出直觉判断。同时要创设宽松的氛围，鼓励学生大胆猜想，培养学生精思、巧思、捷思的思维习惯。

例、如图所示的扇环中，内圆弧长为m，外圆弧长为n，扇环半径为e，则扇环面积s为---------------------。

解答这个问题时，学生有三种不同层次的思路。

思路１：绝大部分学生把扇环还原为扇形（如图），引入扇形的中心角，利用弧长公式和扇形面积公式求得结果。

即m=x,n=(x+e),s=n(e+x)/2－mx/2。虽然运算繁琐，但比较普遍。

思路２：少数学生不是急于去动笔，而是依据直觉洞察力，引起联想把扇环看作是圆台侧面展开图，利用圆台的侧面积公式直接得出S=(m+n)e/2。此种想法一经说出，好多同学都自言自语：我怎么没想到呢？

思路３：极个别学生的联想更奇异。他们说三角形的面积公式是s=ah/2（底与高乘积的一半），扇形面积为s=lr/2(弧长与半径乘积的一半），而扇形可以看作是一个以l为底，以r为高的特殊三角形，由此想象把扇环看作是一个以m为上底，以n为下底，以e为高的特殊梯形，由梯形面积公式得s=(m+n)e/2。这种判断一经说出，同学们更是恍然大悟。连我都惊叹，好一个直觉的想象，好一种形象的类比，结果却合情合理，丝毫不差。

由此可见，恰当合理的应用直觉思维，可迅速有效地解决某些数学问题，同时也培养了学生的探索和创新能力。

在启迪学生直觉思维的过程中，还要引导学生架设数形转换的桥梁，使直觉思维和抽象思维和谐复合。有些代数问题具有抽象性，学生在解决时经常陷入困境，应用数形结合，将抽象问题形象化，即通过构建与之等价的图形或几何模型来解决问题，培养学生的创新思维。特别是随着科学技术的现代化，多媒体软件几何画板的广泛应用，为数形转换提供了有利的辅助工具。教师利用计算机的高速运算，良好的人机交互和文字、图像、声音、动画等卓越处理功能，必使枯燥的数学课堂变得生动、活泼，极大地调动学生的兴趣和积极性，提高学生的素质。利用多媒体技术，将抽象的问题转化为一幅幅的有动感的图形和丰富多彩的模型，使学生在画面中寻求解决的方法和依据，认清问题本质。使学生在愉快轻松的氛围中，获得解决问题的方法和答案，也给学生一种成功后的喜悦感。

例、当b为何值时，方程有一解，两解，无解。

本题利用代数方法从方程角度去解决是非常繁琐的，但通过数形转换，由y=和的图像，即半圆与直线的位置关系处理则豁然开朗，简单易行，教师可借助几何画板演示其解的情况，如图所示。

数形结合为我们解决抽象的代数问题（特别是在含参数的方程和不等式中）提供了一种方法，有时会在“山穷水尽疑无路”的情形下，突现“柳暗花明又一村”的效果。