《战国策秦策二》中有一个典故，称之为《管庄子杀虎》。管庄子是远近闻名的勇敢猎手，他常常一个人猎杀豺狼虎豹，无所畏惧。

一次，管庄子来到一座山前，见有两只老虎在那里争食猎物，拼命厮打，咆哮声震撼着山林。待管庄子举起猎叉，正要上前刺杀猛虎，与他同行的管与连忙拉住他说:“老兄且慢!”

管与说：“最好的时机还没到,两虎争食，正疯狂搏斗，弱些的肯定会被咬死，而强些的那只虎也会被咬伤。等到它们死的死了，伤的伤了，你再行动，只需要轻而易举地将受伤的老虎刺杀即可，这两只老虎就都属于你了”。

如果管与没有提醒管庄子，那么管庄子要付出很大的代价才能杀死这两只老虎，甚至有可能因此而受伤。这则寓言告诉我们，做事情要善于分析矛盾，把握时机，以逸待劳，才能收到事半功倍的效果。

社会中，有许多复杂的情况、困难和问题，需要用高度的智慧去处理、克服和解决。因此，同样的问题，是否善于思索，是否把事物的每一个细节思索周全是决定成败的关键，只有善于全面细致地思索才能正确分析和掌握全局。

在全等三角形和相似三角形的教学时,“一线三等角”是一个常见的模型，也是中考中的热点问题.“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等(或相似)图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.有些时候我们也称之为“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下统称为“一线三等角”问题.

由于相似三角形的灵活多变,再加之隐含在一些复杂的图形中,在审题时老师和学生可能会存在一些难度,今天就把“一线三等角”中的相似给大家总结供参考。

追根溯源(特殊)

一般形式

同侧一线三等角相似

A.锐角三角形

条件：∠B=∠AED=∠C；

结论：△ABE△ECD.

B.直角三角形（一线三垂直）

条件：∠B=∠AED=∠C=90°.

结论：△ABE△ECD.

C.钝角三角形

条件：∠B=∠AED=∠C.

结论：△ABE△ECD.

异侧：一线三等角相似

旋转、平移转化成：

条件：∠FCD=∠ABC=∠AED.

结论：△ABE△ECD.

一线三等角+中点

锐角三角形

条件：∠B=∠AED=∠C,E为BC的中点.

结论：△ABE△ECD△AED；AE平分∠BAD、DE平分∠ADC.

直角三角形（一线三垂直）

条件：∠B=∠AED=∠C=90°,E为BC的中点.

结论：△ABE△ECD△AED；AE平分∠BAD、DE平分∠ADC；BE=EF=EC.

钝角三角形

条件：∠B=∠AED=∠C,E为BC的中点.

结论：△ABE△ECD△AED；AE平分∠BAD、DE平分∠ADC.

“一线三等角”框架形态

常以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等角顶点在同一直线上，称一线三等角模型，其中∠1＝∠2＝∠3，可根据三角形内角和及补角得到另一组等角，可得图①②③中两阴影部分三角形相似.

“一线三等角”应用的情况

①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

②图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；

思想方法

（1）从特殊到一般——“一线三直角”到“一线三等角”；

（2）转化思想——借助“一线三等角”模型搭建桥梁构造相似(全等)三角形.

构造"一线三等角"的步骤找角、定线、构相似

1.以等腰(等边)三角形为背景的“一线三等角”

2.以矩形（正方形）为背景的“一线三等角”问题

例2．（两江新区模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（ 　　）

过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝90°，从而可得四边形AMNB是矩形，进而可得∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN∥AB，然后设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x.

再证明A字模型相似三角形△DME∽△DAB，并利用相似三角形的性质求出DM，从而求出AM，GN的长.

最后证明一线三等角模型相似三角形△AME∽△ENG，利用相似三角形的性质列出算式。

变式1．（洪泽区一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB上的动点，连接DE，将△AED沿着DE折叠，A点落在F处，若EF∥AC，则AE的长度是　　．

过点F作FM⊥AB，垂足为M，并延长MF交CD于点N，设AE＝x，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，AB∥CD，∠DAE＝∠B＝90°，从而可得MN⊥CD，AC＝10，再利用折叠的性质可得AE＝EF＝x，∠DAE＝∠DFE＝90°，然后根据已知易证△ABC∽△EMF，利用相似三角形的性质可得MF＝3/5x，EM＝4/5x，从而表示出AM，DN，FN的长。

最后根据tan∠DFN＝tan∠CAB，列出关于x的方程进行计算即可解答．

∴AE＝2，故答案为：2．

3.＂一线三等角＂在直角坐标系中的应用

例3．（信阳模拟）如图，平面直角坐标系中，A（4，0），点B为y轴上一点，连接AB，tan∠BAO＝2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点．当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为（ 　　）

例4．（1）如图1，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，证明：△ADE∽△BEF．

这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”，那普通的3个等角又会怎样呢？

（2）变式一如图2，已知等边三角形ABC，点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE＝60°．

①图中有相似三角形吗？请说明理由．

②如图3，若将∠ADE在△ABC的内部（∠ADE两边不与BC重合），绕点D逆时针旋转一定的角度，还有相似三角形吗？　　（若有请写出相似三角形，没有则填“无”）

（3）变式二如图4，隐藏变式1图形中的线段AE，在得到的新图形中．

①如果∠B＝∠C＝∠ADE＝50°，图中有相似三角形吗？请说明理由．

②如图5，若∠B＝∠C＝∠ADE＝α，α为任意角，还有相似三角形吗？　　．（若有请写出相似三角形，没有则填“无”）

（4）变式三，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则cosα的值是 　　（直接写出结果）．

（1）利用垂直和同角的余角相等判断出∠ADE＝∠BEF即可得出结论；

（2）①类似于（1）的方法利用等边三角形的性质和三角形的内角和得出∴∠ADE＝∠BEF即可得出结论；②同①的方法即可得出结论；

（3）①②类似于（2）的方法利用三角形的内角和即可得出结论；

（4）先判断出△ACD≌△BCE，得出AD＝CE，CD＝BE，进而得出AF＝3d，最后利用勾股定理得出AB，即可用三角函数的意义即可得出结论．

：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，

∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，

∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE∽△BEF；

（2）①∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，

根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD＝°，

∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝°，∴∠BAD＝∠CDE，

∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△CDE；

②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，

根据三角形的内角和定理得，∠FDB+∠BFD＝°，

∵∠FDE＝60°，∴∠FDB+∠EDC＝°，∴∠BFD＝∠CDE，

∵∠B＝∠C＝60°，

∴△FBD∽△CDE；故答案为：△FBD∽△CDE；

（3）①∠B＝∠C＝50°，

根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD＝°，

∵∠ADE＝50°，∴∠ADB+∠EDC＝°，∴∠BAD＝∠CDE，

∵∠B＝∠C＝°，∴△ABD∽△CDE；

②B＝∠C＝α，根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD＝°﹣α，

∵∠ADE＝α，∴∠ADB+∠EDC＝°﹣α，∴∠BAD＝∠CDE，

∵∠B＝∠C＝α，∴△ABD∽△DCE；

故答案为：△ABD∽△DCE；

（4）如图6，过点A作AD⊥l1，过点B作BE⊥l1交l3于F，

∴∠AFB＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE