庞加莱是有史以来世界上最伟大、最有创见的数学家和物理学家之一。他差一点抢在爱因斯坦之前发现狭义相对论。他几乎是凭一己之力创建了现代数学的一个极其重要的分支——代数拓扑学。庞加莱知识广泛，成就斐然，其研究涵盖了数学的好几个分支，以及天体力学、现代物理学甚至心理学，因此他被称为世上最后一位伟大的科学全才。

庞加菜很像黎曼，喜欢从基本原理出发，开展自己的研究工作，而不是把研究建立在其他人的成果甚至自己先前的工作之上。现今大多数数学家认为他是有史以来最伟大的天才之一。他还对数学思维的本质有着一种浓厚的兴趣。年，他在反省自己思想过程的基础上，作了关于数学创造性的著名演讲，题目为“数学的发明”。

庞加莱自己写道∶“我们通过逻辑去证明，通过直觉去创造。”他尤其不赞同希尔伯特的观点∶数学推理能被公理化并（在原则上）被“机械化”。这是一个庞加莱认为不可能成功的计划，后来哥德尔证明他是对的。

庞加莱对数学的第一个重大贡献是创立了自守函数的概念和理论，这是一类从复数到复数的特殊函数。在他随后的生涯中，庞加莱对涉及复数的函数作了进一步的研究，人们普遍把他誉为多复变解析函数理论的创建者。他还研究了数论和几何学。

庞加莱猜想

在庞加莱对拓扑学的研究中，产生了一个世界难题∶庞加莱猜想。年，庞加莱出版了他的著作《位置分析》。在这本书中，庞加莱引进了拓扑学中的几乎所有的概念和主要方法。

拓扑学是一种“超几何”。数学家通过拓扑学研究曲面和其他数学对象的非常一般的性质。在拓扑学中，数学家的兴趣大都集中在三维或更高维的数学对象上，庞加莱错误地认为某个关于二维物体很显然的事实对于三维或更高维的类似对象也会成立（这是庞加莱猜想的来源）。

二维拓扑学有时被很有联想性地称为“橡皮膜几何学”。

橡皮膜几何学

年，英国的贝克设计了现在的伦敦地铁。这张地图被认为是最好地图之一，很多人试图对它进行改进，都没有成功。这张地图把方便性与外表的美结合在了一起，现在已经成为伦敦的标志，也是全世界地铁地图的典范。

拓扑学的应用∶伦敦地铁地图。

这张地图显示出了拓扑学的巨大威力。事实上，这张地图在每一个方面都是不准确的。但它精准地描述了一名乘客需要从这张地图中获取的信息——什么地方上车，什么地方下车，什么地方换线，从而而牺牲了其他所有的细节。

这个例子说明了二维拓扑学的本质。如果把那张地铁地图印在一张具有极好弹性的橡皮膜上，它就可以被拉伸和压缩得使每个细节都正确，从而形成一张标准的、地理上准确的地图。用数学术语说，原因在于这个网络结构（定义为由不同直线连接的点的集合）的布局是一个拓扑性质。简单地说，网络是拓扑对象。你可以扭曲和拉伸一个网络中的任何连线，而不会改变其总体布局。要改变这个网络，你必须断开一条连线或增加一条新的连线。这对电路图、电路本身、计算机芯片、电话网络和互联网都成立。

这就是为什么当今世界上“橡皮膜几何学”是最重要的数学分支之一。在地铁地图的情况中，只要它在拓扑上是准确的，制图上是不是准确没有关系。类似地，对于电路或计算机芯片的设计，重要的是网络的布局。如果布局在拓扑上是准确的，那么电线的位置可随意改动，以满足其他的设计要求。在计算机芯片的设计中也是如此，关键是蚀刻在硅片上的电路必须在拓扑上是准确的。

一般说，二维拓扑学（橡皮膜几何学）是研究图形的这样一种性质∶把这图形画在一张（假想的）具有极好弹性的橡皮膜上，然后扭曲和拉伸这张膜，这种性质仍然保持不变。其实，拓扑学的发展不是由任何应用数学领域的需要驱动的。相反，它来自纯粹数学的内部，来自于想理解微积分为什么有效而进行的奋斗。

微积分与拓扑

从牛顿和莱布尼茨在17世纪中叶发明微积分的那一刻开始，数学家就广泛地使用了它。但是，没人真正理解为什么微积分会有效。在一大批数学家长达年的努力下得到了（他们对实数和无穷过程的本性，以及数学推理本身进行了详细的分析），这终于得到了解释。

但这也让数学变得越来越抽象了。19世纪出现了大量的新类型对象和模式，它们不属于日常经验的任何一部分。在最近年间数学家研究的新对象和新模式中，有非欧几何（平行线可以相交）、四维和更高维的几何学、无穷维几何学、用符号代表图形对称性的代数（称为群论）、用符号代表逻辑思维的代数（命题逻辑），以及用符号代表二维或三维空间中运动的代数（向量代数）。

在抽象性的扩增中，拓扑学也随之出现了。一开始想法是发明一种“几何学”，来研究图形不会被连续变形所破坏的性质，因此这种几何学不依赖于直线、圆、立方体这些概念，也不依赖于长度、面积、体积、角度这些度量。在拓扑学中，研究的对象称为拓扑空间。

拓扑学与“微积分怎么会有效”之间的联系十分微妙。在本质上，这两者都依赖于能把握无穷小。但是拓扑变换与无穷小会有什么关系？这关键就是∶从直观上说，拓扑变换的本质是，两个在变换前“无限靠近”的点，在变换后仍然保持“无限靠近”。特别是把一张橡皮膜无论怎样拉伸、压缩或扭曲，都不会破坏这种靠近性。一开始相互靠近的两个点在操作完成后还是保持靠近。

注意，这里所说的靠近的概念是相对于拓扑空间中所有其他点而言的。我们可以拉伸这张膜，使得两个起初紧靠在一起的点在我们看来不再紧靠在一起。但是在这种情况下，“靠近性”的变化是一个我们从外部施加的几何变化。从橡皮膜的角度看，这两个点仍然是紧靠在一起的。

破坏靠近性的唯一方法是割破或撕开这张膜——这是一种在拓扑学中被禁止的操作。

要发展拓扑学，数学家必须找到一种方式来把握相对靠近这一关键思想。为此，他们着手寻找一种能阐明两点“无限靠近”这一假设性概念的方式。直观上说，拓扑变换具有这样的性质，

如果两个点一开始是无限靠近在一起的，那么在进行了这种变换之后它们仍将如此。

这种方法的问题在于“无限靠近”这个概念不是一个定义良好（well-defined）的概念。然而，通过这种方式来考虑拓扑变换，数学家找到了一种能给拓扑变换下一个精确定义的方式（别指望我在这里给出定义）。这时，就可以用拓扑变换的概念来精确地分析“无限靠近”这个直观概念。通过这种方式，他们在一种严格的意义上发展了微积分。

这就是庞加莱和其他数学家创立拓扑学的主要原因。第一次遇到拓扑学的人心中会产生一个问题∶关于拓扑空间。拓扑空间不仅没有直线，也没有固定形状的概念，更没有任何类型的距离。你所能说的只是什么时候两点相互靠近。

你没有想到的还有很多

拓扑学是当代数学中最丰富多彩、最有魅力和最重要的分支之一，在数学、物理学和其他领域中有着许多应用。这里只提一个重要的应用∶拓扑学是超弦理论的数学基础，而超弦理论是关于宇宙本质的最新理论。

让我们看一看拓扑学家研究的东西。为简单起见，我只限于二维的情况。并思考一下高中几何中有什么性质可以转移到拓扑学中。因为拉伸和扭曲橡皮膜将把直线变成曲线，并改变距离和角度，所以这些我们熟悉的几何概念在拓扑学中毫无意义。

那么还剩下什么呢？还有线和闭圈（环）。如果你在一个具有极好弹性的橡皮膜上画一个圈，那么不论你如何拉伸、压缩和扭曲这张橡皮膜，这个圈仍然是一个圈。还有什么呢？

为回答这个问题，我给你们看看第一个拓扑学成果。它归功于瑞士大数学家欧拉。年，欧拉解决了一个长期悬而未决的难题——柯尼斯堡桥问题。柯尼斯堡的许多市民习惯与家人一起来此散步，他们常常要走过好几座桥。于是有了一个经常讨论的问题∶是不是有一条路线，正好每座桥只走过一次？

欧拉意识到岛和桥的准确位置是无关紧要的，重要的是这些桥的连接方式，也就是说，由桥形成的网络。这个问题是一个拓扑学问题，而不是几何学问题。

于是欧拉论证如下。取任何一个网络，假设有一条行进路线，正好每条边只走过一次。任何一个结点，只要不是这条路线的起点或终点，必定有偶数条边在此相交，这是因为这些边可以按一条路进一条路出的方式配成对。但是在这个由桥组成的网络中，那4个顶点都是有奇数条边在那里相交。因此不可能有这样的路线。结论是，经过柯尼斯堡的每座桥正好一次的路线是不存在的。

网格的结点代表陆地

这个对柯尼斯堡桥问题的解答产生了世界上第一个拓扑学定理。欧拉证明了对于画在平面上的任何一个网络，如果V是顶点（结点）的总数，E是边（或连线）的总数，F是"面"（由3条或更多条边围成的封闭区域）的总数，则下面这个简单的公式成立∶

例如，关于柯尼斯堡桥的网络，有V=4，E=7，以及F=4，于是

虽然欧拉解决了第一个拓扑学难题，并证明了第一个拓扑学定理，但是直到19世纪后期，拓扑学才真正起步。因为在这时，庞加莱登场了！

透过表面

在拓扑学中，我们研究图形和对象在一种连续变形下保持不变的性质。所谓连续，我们是指这个变形不涉及任何切割、撕裂或黏贴。

例如，在拓扑学中，橄榄球与足球是一样的，它们和网球也是一样的，因为这三种球的任何一种都可以通过连续变形而变成其他两种。在拓扑学中只存在一种“球”。平时我们识别出来的各类球之间的差别，都与大小和形状有关，但这些都不是拓扑性质。

拓扑学的早期研究就是寻找各种方式来说明两个形状什么时候在拓扑上是不同的，庞加莱就是这种探求的一个领军人物。

例如，虽然任意两个球都是拓扑相同的，任意两个环面（圆形状、椭圆形状或其他什么形状的）也是拓扑相同的，但任何球面与任何环面是拓扑不同的。从直观上看，这好像是显然的。毕竟，你好像根本没有办法对一个球面进行连续变换而得到一个环面。问题就在于那个无关紧要的词——好像。你怎么知道肯定没有办法做到这一点？例如，

上图所示的分环智力题中，你能不能找到一种方法把图形（a）连续地变换成图形（b）？容易想到的方法是把两个相互扣住的环中的一个割断（但这不被允许），如（c）所示。但不用把环割断也能做到。这应该让你相信寻找各种完全可靠的方式来证明两个对象拓扑相同或拓扑不同，确实是一个重要的任务。

顺便说下，仅凭没能找到一个把一个对象变成另一个对象的连续变形，是不能确证这两个对象拓扑不同的。这里需要的是找到两个对象中一个具有而另一个不具有的某种拓扑性质——即经过连续变形仍保持不变的性质。

我们已经遇到过一个这样的性质。对于任何网络，V-E＋F的值就是一个拓扑性质。这个量对任何网络都相同。

对于二维平面上的网格，V-E＋F=1；对于球面上的网络（要覆盖整个球面，而不是覆盖球面的一部分），V-E＋F=2；而环面上的网络（同样要求覆盖整个环面），V-E+F=0。于是，我们可以绝对有把握地断言，二维平面、球面和环面是拓扑不同的。对于画在双环面（形状如数字8）上的网络，V-E＋F=-2，所以我们还知道双环面与平面、球面、环面是拓扑不同的。

对于画在一个特定曲面上的任意网络，表达式V-E＋F的值是数学家所谓的曲面拓扑不变量的一个例子。如果我们对这个曲面进行拓扑变换（即连续变形），这个值将保持不变。为了纪念欧拉的贡献，人们把V-E＋F的值称为曲面的欧拉示性数。拓扑学家已发现了许多可用来确定两个特定曲面是否拓扑等价的拓扑不变量，欧拉示性数是其中之一。

另一个拓扑不变量是一个曲面的色数。它起源于一个关于地图着色的经典问题。年，一个名叫格思里的青年英国数学家提出了一个似乎无足轻重的问题∶

为了能在任何一张地图上给各个区域着色，你至少需要多少种颜色？

唯一的规则是任何两个共有一条公共边界的区域必须被着上不同的颜色。（如果两个区域仅在一点相互接触，那么这个点不能被看作是公共边界。）很容易画出需要四种不同颜色的地图，然而是不是存在需要五种颜色的地图？答案是否定的，但数学家花了多年时间才证明了这一点，证明涉及的不仅有巧妙的数学推理，而且有计算机的重大应用。事实上，四色定理是第一个被认为要使用计算机才能得到证明的数学猜想。

四色定理显然是一个拓扑学结果，因为对画有地图的纸进行连续变形，不会改变共有边界的模式。在变形前共有一条公共边界的两个区域，在变形后仍然如此，反之亦然。

四色定理，以及它所回答的那个原始问题，都是针对画在平面上的地图的。但是你可以对画在任何曲面上的地图提出同样的问题。一个曲面的色数是，对画在这个曲面上的任何地图都能进行着色所至少需要的颜色种数。根据四色定理，平面的色数是4。球面的色数也是4。环面的色数是7。

有侧性问题

另一个拓扑不变量起源于“有侧性”（sidedness）的概念——一个曲面有一个侧面还是有两个侧面。任何曲面都是有两个侧面，不是吗？回答是否定的。很容易构造一个只有一个侧面的曲面。拿一条狭长的薄纸带，把它扭转半周，然后把两端黏合在一起，形成一个扭曲的纸圈，

这个扭曲的纸圈就是仅有一个侧面的曲面，它叫做莫比乌斯带。除了仅有一个侧面外，默比乌斯带也只有一条边。

默比乌斯带这个例子告诉我们，有侧性是与有边性紧紧联系在一起的。通常，数学家

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