知识点提示直线的投影

今天延续上一节课点的投影内容，我们讲解直线的投影，直线的投影要比点的投影复杂一些，但直线可以看作是无数的点组成的，所以本质还是点的投影，后面我们还会讲面的投影，也是这个道理。

　　　　　　　　　　一、直线对一个投影面的投影特性　　　　　　　　　　直线对一个投影面的投影，可能有下面三种情况：(1)当直线AB垂直于投影面时(图1-10a)，它在该投影面上的投影ab变成一个点a=b(符号“三”表示重合的意思)。直线上任一点M的投影m，也重合在这一点上，即a三b三m。这种性质叫作积聚性。(2)当直线AB平行于投影面时(图1-10b)，它在该投影面上的投影ab反映实长，即投影长度与空间长度相等。(3)当直线AB倾斜于投影面时(图1-10c)，它在该投影面上的投影ab长度缩短。缩短多少，根据直线对投影面的夹角α的大小而定，即：ab=ABcosα。

　　　　　　二、直线在三投影面体系中的投影特性　　　　　　　　　　直线在三投影面体系中的位置，可分为三类：1.投影面垂直线垂直于一个投影面，而与另外两个投影面平行。投影面垂直线可分为正垂线、铅垂线、侧垂线三种(表1-1)。2.投影面平行线平行于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜。投影面平行线可分为正平线、水平线、侧平线三种(表1-1)。

3.一般位置直线

如图1-11所示的直线AB与三个投影面都倾斜，是一般位置直线，它的三个投影均为倾斜位置。

设直线AB与H、V、W三个投影面所成的夹角分别为α、β、γ，则：ab=ABcosα;ab=ABcosβ;ab=ABcosyγ。因为α、β、γ都不等于零，所以一般位置直线段的三个投影小于线段本身的实长。

　　　　

　　　　　　三、求一般位置线段的实长及其对投影面的露夹角　　　　　　　　　　一般位置线段的投影不反映线段的真实长度，也不反映它对各投影面所成夹角的真实大小。但是，如果有了线段的两个投影，这一线段的空间位置就完全确定了，就可以根据这两个投影通过图解法求出线段的实长及其对投影面的夹角。1.求线段的实长及其对H面所成的夹角如图1-12a所示为一般位置线段AB的直观图。若过点A作AC平行ab，则得一直角三角形ABC.线段AB是它的斜边，∠BAC等于点B和点A的高低之差，妈z坐标差(BC=zB-zA)。这些都可以从已给线段的投影图上得到，因此若利用线段的水平投影ab和两端点B和A的z坐标差(?z=zB-zA)作为两直角边，画出直角三角形，就可以同时求出AB的实长和α角。在投影图上的作ltu方法如下：如图1-12b所示，利用ab为所求直角三角形的一个直角边(ab=AC)，过点b作直线垂直于ab，并且在此垂线上量取一点b1，使bb1等于点A与点B高低之差(zB-zA)。线段ab1就是线段AB的实长，ab1与ab的夹角就是线段AB对H面的夹角α的实际大小。2。求线段的实长及其对V面所成的夹角按类似的分析方法，利用线段的正面投影和线段两端点A和B的γ坐标差(?γ=γA-γB)所构成的直角三角形，可以同时求出线段的实长和对V面的夹角β的实际大小。其具体作图方法如图1-12所示。综上所述，可以看出：为了求出线段的实长及其对投影面的夹角，都可通过作直角三角形得到，因此这各种方法称为直角三角形法，如果夹角α和β都要求出，则必须分另以ab和ab为一个直角边，绘制两个直角三角形。　　　　

　　　　　　四、直线上的点　　　　　　　　　　如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各个投影分隔成和空间相同的比例。如图1-14所示，若点C在AB线上，则c在ab上，c在ab上，而且AC/CB=ab/cb=ac/cb已知直线AB和点K的正面投影和水平投影，问点K是否在直线上(图1-15)？：因为AB是侧平线，因此需要画出侧面投影，或用定比方法进行判断。方法一：先画出直线AB的侧面投影ab和点K的侧面投影k，然后看k是否在ab上。从图1-15a的侧面投投影看出，k不在ab上，因此点K不在直线AB上。方法二：用分割线段成定比的方法，将直线AB的水平投影ab分成两段，使其比值等于ab上线段l1与l2的比，得点k1。如图1-15b所示，k1与k不重合，因此点K不在直线AB上。　　　　

　　　　　　五、两直线的相对位置　　　　　　　　　　

空间两直线的相对位置可以分为三种：平行；相交；交叉。

1.两直线平行

从平行投影的基本特性可知：若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行(图1-16a)。反之，如同两直线的各个同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。

对一般位置直线，只要两直线的任意两对同面投影相互平行，就能肯定这两条直线在空间是相互平行的(图1-16b)。但是，对与投影面平行的两直线来说，有时还不能肯定。例如，图1-17中给出了两条侧平线EF和GH的正面投影和水平投影。虽然ef//gh,ef//hg，但是还不能确定它们在空间是否平行，求出侧面投影后就确定了。通过作图得知ef！//gh，所以EF!//GH。

2.两直线相交

当两直线相交时，它们在各投影面上的同面的投影也必然相交，并且这些交点应符合空间一点的投影规律。反这亦然。

如图1-18所示，直线AB与CD相交于点K，则在投影图上，ab与cd、ab与cd也必然相交，并且它们的交点k与k的连线必然垂直于OX轴。

3.两直线交叉

当空间两直线既不平行也不相交时，称为交叉。交叉两直线的同面投影也可能相交，但各个投影的交点不符合点的投影规律。如图1-19所示是交叉直线的情形。

由图1-19a可以看出，两直线AB和CD的水平投影的交点，实际是空间两重影点的投影重合，基中点III在直线CD上，点IV在直线AB上。

应用重影点可以很方便地判断两直线在空间的相对位置。例如，如图1-19b所示，重影点I、II的正面投影1比2高，所以属于直线AB的点I可见，属于直线CD的点II为不可见。重影点III和IV的水平投影3比4距V面远，所以属于直线CD的点III可见，属于直线AB的点IV为不可见。

　　　　

　　　　　　六、直角定理　　　　　　　　　　

两直线相交或交叉夹角成直角是相交或交叉的特殊情况，现讨论此时的投影。

定理：若直角中有一边平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。

证明：如图1-20所示，设直角ABC在一边BC平行于H面。因为BC⊥Bb，所以BC一定垂直平面ABba。又因直线BC和它的投影bc平行，所以bc也垂直于平面ABba。因此bc必垂直于ab，即∠abc=90度。

反之，若一直角投影仍是直角，则被投影的角至少应有一边平行于该投影面。

根据上述理由，可知力u1-21中的∠ABC和∠DEF都是直角，亦即AB与BC、DE和EF都是垂直相交的。

因为两条交叉直线的夹角等于过空间任意一点所引这两条交叉直线的平等线所成的夹角，因此上述投影特性可以推广到交叉两直线。

总之，相互垂直的两直线(相交的或交叉的)当中，至少有一条直线平行于投影面时，这两直线在该投影面上的投影才相互垂直。

如图1-22所示为两直线垂直交叉的情形。

过点A作直线AB正平线CD垂直相交(图1-23)。

解：(一)分析

(i)过空间一点作直线CD的相交线可以有无数解，但其中相交成直角的只有一个解。

(ii)因为CD//V面，所以可应用直角投影特性在V面投影中直接进行作图。

(二)作图

(i)过a作直线ab⊥cd，交cd于b，即为交点B的正面投影。

(ii)在直线cd上求出点B的水平投影b。

(iii)连接a和b，则AB(ab,ab)即为所求。

　　　　

　　　　　　　　　　　　

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